Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4019. feladat (2007. szeptember)

B. 4019. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számra

\frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{{(2n+1)}^2} < \frac{1}{4}.

(Felvidéki versenyfeladat)

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Minden k pozitív egész számra

\Bigl(\frac{1}{2k+1}\Bigr)^2 <\frac{1}{4k^2+4k}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{k(k+1)} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr),

ezért a szóban forgó összeg kisebb, mint

\frac{1}{4}\Bigl\{\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Bigr)+ \Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr)+\ldots+ \Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr)\Bigr\}= \frac{1}{4}\Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr)<\frac{1}{4}.

Statisztika:

178 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:133 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:26 versenyző.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai