Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4022. feladat (2007. október)

B. 4022. Van-e olyan számrendszer, amelyben a 9-cel való oszthatóság szabálya olyan, mint a tízes számrendszerben a 4-gyel való oszthatósági szabály; a 4-gyel való oszthatóság szabálya olyan, mint a tízes számrendszerben a 9-cel való oszthatósági szabály; a 7-tel való oszthatóság pedig pusztán az utolsó számjegy alapján eldönthető?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a számrendszer alapszáma d. Ha a 7-tel való oszthatóság csak az utolsó számjegy alapján eldönthető, akkor tekintsünk egy legalább kétjegyű 7-tel osztható n számot. Ha n utolsó előtti jegye 0, akkor cseréljük ki 1-re, ha nem 0, akkor vonjunk ki belőle 1-et. Az így kapott n' szám szintén osztható kell legyen 7-tel. Mivel n'=n\pmd, a két szám különbsége, d is osztható kell legyen 7-tel. Megfordítva, ha d osztható 7-tel, akkor nyilván minden 0-ra végződő szám osztható 7-tel, ezért egy szám pontosan akkor lesz 7-tel osztható, ha az utolsó számjegye osztható 7-tel. Az utolsó feltétel tehát pontosan akkor teljesül, ha 7\mid d.

Az első feltétel azt jelenti, hogy egy szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha az utolsó két számjegyéből alkotott 'szám' (amely tehát 0-val is kezdődhet, sőt 00 is lehet) osztható 9-cel, de az utolsó számjegy alapján az oszthatóságot még nem lehet eldönteni. Ha ez teljesül, akkor az előző érvelés mutatja, hogy d nem osztható 9-cel. Megmutatjuk, hogy d szükségképpen osztható 3-mal. Tekintsünk egy legalább 3 jegyből álló 9-cel osztható n számot. Ha a d2-es helyiértéken álló számjegy 0, akkor írjunk helyébe 1-et, ellenkező esetben vonjunk ki belőle 1-et. A szabály értelmében az így kapott n' szám is osztható kell legyen 9-cel. A két szám különbsége most d2, ami pontosan akkor osztható 9-cel, ha d osztható 3-mal. Megfordítva, ha d osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel, akkor az utolsó számjegy alapján a 9-cel való oszthatóságot még nem lehet eldönteni, viszont minden 00-ra végződő szám osztható lesz 32=9-cel, tehát egy szám pontosan akkor lesz osztható 9-cel, ha a fent megfogalmazott szabály teljesül. Az első feltétel tehát azzal ekvivalens, hogy 3\mid d, de 9\nmid d.

Végül a második feltétel azt jelenti, hogy egy szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha számjegyeinek összege osztható 4-gyel. Ha ez teljesül, akkor d>2, ezért van olyan n kétjegyű 4-gyel osztható szám, amelynek első jegye nem d-1. Ha a második jegy 0, akkor írjunk helyébe 1-et, az első számjegyet pedig csökkentsük 1-gyel (ha így az első számjegy 0 lenne, akkor elhagyjuk). Ha a második jegy nem 0, akkor csökkentsük 1-gyel, az első számjegyet pedig növeljük 1-gyel. Így a számjegyek összege változatlan marad, tehát az új szám, n'=n\pm(d-1) is osztható 4-gyel. Ezért szükségképpen 4\mid d-1. Megfordítva, ha d 4-gyel osztva 1 maradékot ad, akkor d minden hatványa is 1 maradékot ad 4-gyel osztva, ezért az \overline{a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0}_d szám ugyanolyan maradékot ad 4-gyel osztva, mint ak+ak-1+...+a1+a0. A második feltétel tehát pontosan akkor teljesül, ha 4\mid d-1.

Mivel a d=21 szám mindhárom feltételnek eleget tesz, található ilyen számrendszer, sőt minden 252k+21 alapú számrendszer megfelelő lesz.

Statisztika:

243 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:129 versenyző.
3 pontot kapott:84 versenyző.
2 pontot kapott:19 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai