A B. 4024. feladat (2007. október)

B. 4024. Az első 1000 pozitív egész szám közül legfeljebb hányat választhatunk ki úgy, hogy semelyik két kiválasztott szám összege ne legyen osztható a különbségükkel?

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha az n számot kiválasztottuk, akkor sem n+1, sem n+2 nem lehet a kiválasztottak között; három egymást követő szám közül legfeljebb egyet választhatunk ki. Ezért az első 999 pozitív egész közül legfeljebb 333-at, az első 1000 közül pedig legfeljebb 334-et választhatunk ki.

Ennyit pedig ki is lehet választani. Tekintsük ugyanis az 1,4,7,...,1000 számokat, ezek mindegyike 1 maradékot ad 3-mal osztva. Bármely kettő különbsége osztható tehát 3-mal, és ezért nem lehet osztója semelyik két szám összegének, hiszen az 3-mal osztva 2 maradékot ad.

Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	114 versenyző.
2 pontot kapott:	30 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai