Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4028. feladat (2007. október)

B. 4028. Két gömb sugara 5 és 3 egység, középpontjaik távolsága 4 egység. Számítsuk ki a két gömb közös részének térfogatát.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a két gömb középpontja A, illetve B. A két gömbfelület metszéspontja egy olyan körvonal, amelynek minden P pontja A-tól 5, B-től 3 egység távolságra van. Vagyis Pithagorasz tételének megfordítása értelmében az ABP háromszögben P-nél derékszög van, ezért a körvonal síkja, mely merőleges az AB egyenesre, azt B-ben metszi. Ez a sík a két gömb közös részét két részre vágja. A fentiek miatt az egyik rész egy 3 egység sugarú félgömb, a másik pedig az 5 egység sugarú gömbből levágott 5-4=1 egység magasságú gömbsüveg.

Mivel az R sugarú gömb térfogata 4R3\pi/3, a belőle levágott h magasságú gömbsüvegé pedig h2(3R-h)\pi/3, a keresett térfogat

V=\frac{2\cdot3^3\cdot\pi}{3}+\frac{1^2\cdot 14\cdot \pi}{3} =\frac{68\pi}{3}.

Statisztika:

242 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:130 versenyző.
2 pontot kapott:83 versenyző.
1 pontot kapott:22 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai