A B. 4029. feladat (2007. október)

B. 4029. Az r és s pozitív számok összege 1. Mutassuk meg, hogy

r^r.s^s+r^s.s^r1.

Javasolta: R. F. Stöckli (Buenos Aires)

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel 1=r+s=r^r+s+s^r+s=r^rr^s+s^rs^s,

1-(r^rs^s+r^ss^r)=r^rr^s+s^rs^s-r^rs^s-s^rr^s=(r^r-s^r)(r^s-s^s).

Mivel pozitív a hatványkitevő mellett az x^a függvény a pozitív számokon szigorúan monoton nő, a szorzat mindkét tényezője pozitív, ha r>s, negatív, ha r<s, r=s esetén pedig 0. A szorzat tehát mindig nemnegatív, amiből az állítás leolvasható. Az is látszik, hogy egyenlőség pontosan az r=s=1/2 esetben áll fenn.

Statisztika:

82 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Botos Csongor, Cséke Balázs, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márki Róbert, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	44 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai