Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4030. feladat (2007. október)

B. 4030. Adott a síkon az AB szakasz. Vegyünk fel egy tetszőleges C pontot a síkban úgy, hogy az ABC háromszög ne legyen egyenlő szárú. A C csúcshoz tartozó külső szögfelező az AB egyenest D-ben, az ADC körhöz A-ban húzott érintőt P-ben metszi. Határozzuk meg a lehetséges P pontok mértani helyét.

Osztrák versenyfeladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Megmutatjuk, hogy a P pont mindig az AB szakasz felező merőlegesén helyezkedik el. A bizonyításból az is világosan kiderül majd, hogy a mértani helyhez ennek az egyenesnek minden pontja hozzátartozik az AB szakasz felezőpontjának kivételével, ami nyilván nem lehet megfelelő pont. Mivel a háromszög nem egyenlő szárú, ezért két eset lehetséges.

I. eset: a C pont A-hoz közelebb van, mint B-hez. A háromszög szögeit a szokásos módon jelölve ekkor \alpha>\beta, ACD\angle=90^\circ-\frac{\gamma}{2}, tehát CDA\angle=\alpha+\frac{\gamma}{2}-90^\circ=\delta>0. A kerületi szögek tétele miatt a CAP szög is \delta. Ezért egyrészt a CAP háromszögben CPA\angle=180^\circ-\delta-(90^\circ+\frac{\gamma}{2})= \beta, másrészt PAB\angle=\alpha-\delta=90^\circ-\frac{\gamma}{2}.

A kerületi szögek tételének megfordítása miatt tehát a P pont rajta van az ABC háromszög köré írható kör A-t nem tartalmazó CB ívén. Ebből adódóan az APB szög is \gamma, tehát az ABP szög is 90^\circ-\frac{\gamma}{2}, az ABP háromszög egyenlő szárú, és P valóban az AB szakasz felező merőlegesére esik, ahogy azt állítottuk.

II. eset: a C pont B-hez közelebb van, mint A-hoz. Ekkor az I. esethez hasonlóan gondolkozhatunk, csak a megoldás első felében a számolás kicsit más: ACD\angle=90o+\gamma/2, CDA\angle=180o-(\alpha+90o+\gamma/2)=90o-\alpha-\gamma/2=\delta>0, CAP\angle=CDA\angle=\delta, CPA\angle=180o-\delta-(90o-\gamma/2)=\alpha+\gamma=180o-\beta, PAB\angle=\alpha+\delta=90o-\gamma/2.

A megfordításhoz tekintsük az AB szakasz felező merőlegesének egy tetszőleges olyan Q pontját, amely nem esik az AB szakaszra. Azt kell megmutatnunk, hogy ez a pont hozzátartozik a P pontok mértani helyéhez. Ám ha az ABQ háromszög köré írható kör rövidebbik QA ívén felveszünk egy C pontot úgy, hogy sem CA, sem CB ne legyen egyenlő AB-vel, akkor az elmondottak alapján világos, hogy az ehhez tartozó P pont nem lehet más, mint Q.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Dinh Hoangthanh Attila, Horváth 385 Vanda, Márkus Bence, Somogyi Ákos, Szőke Nóra, Tubak Dániel.
4 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Cséke Balázs, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Kovács 915 István, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Wang Daqian, Zieger Milán.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai