A B. 4031. feladat (2007. október) |
B. 4031. Legyen n>1 egész szám. Bizonyítsuk be, hogy az
egyenletnek nincs racionális megoldása.
(5 pont)
A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az egyenlet ekvivalens az egyenlettel, ahol an kivételével mindegyik ak=n!/k! együttható n-nel osztható egész szám (a 0!-t, mint üres szorzatot, 1-nek értelmezve). Mivel a főegyüttható 1, ha x racionális megoldása az egyenletnek, akkor szükségképpen egész szám. Ha az x egész szám megoldás, akkor szükségképpen xn osztható n-nel. Legyen p az n egyik prímtényezője, ez tehát x kanonikus alakjában 1 kitevővel szerepel, az a0=n! száméban pedig valamilyen kitevővel. Ha k1, akkor a k! szám alakjában p kitevője,
kisebb mint k, hiszen
Ezért k1 esetén p kitevője az akxk számban
(-k)+k-k+k>.
Az egyenlőség baloldalán álló összeg tehát p-nek nagyobb hatványával osztható, mint a jobboldalon álló szám. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek mégsem lehet racionális megoldása.
Statisztika:
29 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Éles András, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán. 4 pontot kapott: Cséke Balázs, Somogyi Ákos. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai