 |
A B. 4036. feladat (2007. november) |
B. 4036. A k1 és k2 körök P-ben kívülről érintik egymást. Az egyik közös külső érintőjük e, melyen az érintési pontok rendre A és B. Az e-vel párhuzamos f egyenes C-ben érinti k1-et, D-ben és E-ben metszi k2-t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC és ADE háromszögek körülírt körének közös húrja illeszkedik P-re.
(5 pont)
A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.
Megoldás: Mivel az AC szakasz a k1 kör átmérője, Thalesz tétele értelmében az APC szög derékszög. Ha a két kör P-n áthaladó közös érintője az e egyenest P'-ben metszi, akkor P'A=P'P=P'B, vagyis az APB szög is 90o-os, P tehát illeszkedik a BC szakaszra. Mivel a CAB szög is 90o-os, ez a szakasz az ABC háromszög köré írt k3 kör egyik átmérője, amely merőleges AP-re. Ha tehát az A pontot P-re tükrözzük, akkor az így kapott A' pont a k3 körön helyezkedik el. Erre a pontra BA=BA'. Ha megmutatjuk, hogy az ADE háromszög köré írható k4 kör középpontja éppen B, akkor ebből következik, hogy A' is a k4 körön van, vagyis éppen AA' lesz a k3 és k4 körök közös húrja. Mivel ez illeszkedik P-re, a feladat állítása ebből már következik.
Mivel BD=BE, elegendő annyit megmutatni, hogy BA=BD. Legyen a körök középpontja O1,O2, sugara r1,r2, a DE szakasz felezőpontja pedig F. Az O1ABO2 derékszögű trapézból kiindulva, a Pithagorasz tétel alapján AB2+(BO2-AO1)2=O1O22, vagyis
AB2=(r1+r2)2-(r2-r1)2=4r1r2.
A DFO2 esetleg elfajuló derékszögű háromszögből r22=DF2+(2r1-r2)2, tehát a DFB derékszögű háromszögre is felírva a Pithagorasz tételt
BD2=DF2+FB2=r22-(2r1-r2)2+(2r1)2=4r1r2=BA2,
ahonnan valóban BD=BA következik.
Statisztika:
40 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Gyurcsik Judit, Horváth 385 Vanda, Hursán Zsófia, Kalina Kende, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Piller Éva, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 313 Gábor, Szabó 895 Dávid, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán. 4 pontot kapott: Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bohus Kinga, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Marák Károly. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai