A B. 4037. feladat (2007. november)

B. 4037. Jelölje f(n) az n pozitív egész szám tízes számrendszerben felírt alakjában a számjegyek összegét. Mennyi lehet f(3a), ha

$f(a)=100 \quad\text{\'es}\quad f(124a)= 700?$

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.

Megoldás: A megoldás azon az észrevételen múlik, hogy f(x+y) $\le$ f(x)+f(y) teljesül bármely x,y pozitív egészekre, ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x és y azonos helyiértéken álló számjegyeinek összege soha nem nagyobb 9-nél. Ebből rögtön következik, hogy f(2a) $\le$ 2f(a) és f(4a) $\le$ 4f(a), és az utóbbi esetben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a egyik számjegye sem nagyobb 2-nél. Emiatt

f(124a) $\le$ f(100a)+f(20a)+f(4a)=f(a)+f(2a)+f(4a) $\le$ 7f(a),

és egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a mindegyik számjegye 0, 1 vagy 2. Ebben az esetben viszont f(3a)=3f(a) is teljesül, vagyis a feladatban szereplő a számra, ha ilyen egyáltalán létezik, f(3a)=300. A 100 darab 1-es számjegyből álló a szám például megfelel a feltételeknek.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 66 versenyző.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 12 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai

89 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	66 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?