A B. 4056. feladat (2008. január)

B. 4056. Egy hegyesszögű háromszög magasságpontja M, körülírt körének középpontja O, oldalai a<b<c. A c oldal egyenese, a b oldalhoz tartozó magasság és az MO egyenes az eredeti háromszöghöz hasonló, fordított körüljárású háromszöget határoz meg. Mekkorák a háromszög szögei?

Javasolta: Bodnár János (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A szokásos jelölésekkel élve, a háromszög szögeire $\alpha$ < $\beta$ < $\gamma$ teljesül. Mivel a háromszög hegyesszögű, az ABM szög kisebb mint $\beta$ . A feladatban megkonstruált háromszögnek ez a szöge tehát csak $\alpha$ lehet. A fordított körüljárási irány miatt ebből adódóan a BMO szög kell, hogy $\gamma$ -val legyen egyenlő. A BM magasság talppontját Y-nal jelölve kapjuk, hogy az ABY derékszögű háromszög mindkét hegyesszöge $\alpha$ , ahonnan $\alpha$ =45^o. Az AC oldal felezőpontját F-fel jelölve pedig

$\tg\gamma=\frac{AY-AF}{OF-MY}$

írható fel. Mivel AMY és BCY merőleges szárú szögek lévén az AMY szög is $\gamma$ , kapjuk, hogy AY=MYtg $\gamma$ , vagyis a fenti összefüggést 2AY=AF+OFtg $\gamma$ alakra hozhatjuk. Figyelembe véve, hogy $AY=c\cos\alpha=c/\sqrt{2}$ , AF=b/2, valamint hogy az AOF szög nagysága $\beta$ , innen

$\sqrt{2}c=\frac{b}{2}\Bigl(1+\frac{\tg\gamma}{\tg\beta}\Bigr)$

adódik. 2tg $\beta$ -val bővítve, a szinusz-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy

$2\sqrt{2}\sin\gamma\tg\beta=\sin\beta(\tg\beta+\tg\gamma).$

A cos $\beta$ cos $\gamma$ közös nevezővel felszorozva, sin $\beta$ -val történő egyszerűsítés után

$2\sqrt{2}\sin\gamma\cos\gamma=\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta= \sin(\beta+\gamma)=\sin\alpha=1/\sqrt{2},$

ahonnan sin 2 $\gamma$ =2sin $\gamma$ cos $\gamma$ =1/2, 2 $\gamma$ =150^o, $\gamma$ =75^o, és végül $\beta$ =60^o adódik.

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyurcsik Judit, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Müller Márk, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Véges Márton, Weisz Ágoston.

3 pontot kapott: Dinh Van Anh, Márki Róbert.

2 pontot kapott: 15 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

36 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyurcsik Judit, Kiss 902 Melinda Flóra, Lovas Lia Izabella, Müller Márk, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 pontot kapott:	Dinh Van Anh, Márki Róbert.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?