A B. 4058. feladat (2008. január)

B. 4058. Egy háromszög szögei $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Mennyi

sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\gamma$ +sin² $\gamma$

lehető legnagyobb értéke?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Felhasználva, hogy sin $\gamma$ =sin ( $\alpha$ + $\beta$ ) és cos $\gamma$ =-cos ( $\alpha$ + $\beta$ ), az addíciós képletek alapján

F=sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\gamma$ +sin² $\gamma$ =

=-sin $\alpha$ sin $\beta$ (cos $\alpha$ cos $\beta$ -sin $\alpha$ sin $\beta$ )+(sin $\alpha$ cos $\beta$ +cos $\alpha$ sin $\beta$ )²=

=sin² $\alpha$ sin² $\beta$ +sin² $\alpha$ cos² $\beta$ +cos² $\alpha$ sin² $\beta$ +sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\alpha$ cos $\beta$ .

A trigonometrikus Pithagorasz-tétel alapján (sin² $\alpha$ +cos² $\alpha$ )(sin² $\beta$ +cos² $\beta$ )=1, vagyis

F=1-cos² $\alpha$ cos² $\beta$ +sin $\alpha$ sin $\beta$ cos $\alpha$ cos $\beta$ =

=1+cos $\alpha$ cos $\beta$ (sin $\alpha$ sin $\beta$ -cos $\alpha$ cos $\beta$ )=1+cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ .

Ez a kifejezés pontosan akkor lesz 1-nél nagyobb, ha a háromszög hegyesszögű. Mivel a cos x függvény a (0, $\pi$ /2) intervallumon pozitív és alulról konkáv, a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség, valamint a Jensen-egyenlőtlenség szerint

$F\le 1+\Bigl(\frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{3}\Bigr)^3\le 1+\cos\Bigl(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\Bigr)^3=1+\cos^360^\circ= \frac{9}{8},$

egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha a háromszög szabályos.

Statisztika:

80 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Aczél Gergely, Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Börcsök Bence, Cséke Balázs, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Frankl Nóra, Gele Viktória, Gyurcsik Judit, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Lamm Éva, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Nguyen Sy Bang, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szirmay-Kalos Barnabás, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.

3 pontot kapott: 15 versenyző.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 7 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Börcsök Bence, Cséke Balázs, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Frankl Nóra, Gele Viktória, Gyurcsik Judit, Horváth 385 Vanda, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Lamm Éva, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Nguyen Sy Bang, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szirmay-Kalos Barnabás, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?