A B. 4083. feladat (2008. április)

B. 4083. Egy 10×10-es táblázat minden egyes mezőjébe egy-egy számjegyet írunk úgy, hogy minden egyes számjegy pontosan 10 mezőben szerepel. Meg tudjuk-e ezt úgy tenni, hogy minden sorban és oszlopban legfeljebb 4 különböző szám fordul elő?

Kvant

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy egy 5×5-ös táblázat mezőibe be lehet írni a 0,1,2,3,4 számjegyeket úgy, hogy mindegyik pontosan 5-ször szerepel, továbbá minden oszlopban pontosan 2, minden sorban pedig pontosan 3 különböző számjegy fordul elő. Egy lehetséges ilyen elrendezés a következő:

Két ilyen táblázatot egymás mellé helyezve egy 5×10-es táblázat kitöltését kapjuk a 0,1,2,3,4 számjegyekkel úgy, hogy mindegyik pontosan 10-szer szerepel, és továbbra is minden oszlopban pontosan 2, minden sorban pedig pontosan 3 különböző számjegy fordul elő. Egy 10×10-es táblázat megfelelő kitöltését kaphatjuk ebből úgy, hogy egy ilyen módon kitöltött 5×10-es táblázat alá helyezünk egy másikat oly módon, hogy abban minden egyes számjegyet a nála 5-tel nagyobbal helyettesítünk. (Ezzel még azt is elértük, hogy a sorokban csak 3 különböző számjegy szerepeljen.)

Statisztika:

90 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai