 |
A B. 4088. feladat (2008. április) |
B. 4088. Az AB1B2 hegyesszögű háromszög B1B2 oldalának belső pontja P. Jelöljük Q-val a P pontnak az A-ra vonatkozó tükörképét. Jelölje Di a P pontnak az ABi szakaszra eső merőleges vetületét, a DiBi szakasz felezőpontja Fi. Bizonyítsuk be, hogy ha QD1 merőleges PF1-re, akkor QD2 merőleges PF2-re.
Javasolta: Bodnár János (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Válasszuk ki valamelyik i indexet, és legyen Bi=B, Di=D, Fi=F. Megmutatjuk, hogy QD pontosan akkor merőleges PF-re, ha PA merőleges PB-re. Ebből a feladat állítása azonnal következik, hiszen PA nyilván pontosan akkor merőleges PB1-re, ha merőleges PB2-re.
Állításunk bizonyításához jelölje tetszőleges X pontra a vektort x. Ekkor Q és F definíciója miatt q=2a és
. Azt, hogy D a P pontnak az AB szakaszra eső merőleges vetülete, kifejezhetjük a megfelelő vektorok skaláris szorzatával: d(a-d)=d(a-b)=0. Mármost QD pontosan akkor merőleges PF-re, ha (q-d)f=0, vagyis ha (2a-d)(b+d)=0. Azonban
(2a-d)(b+d)=2ab+d(a-d)+d(a-b)=2ab,
tehát a feltétel ekvivalens azzal, hogy ab=0, ami éppen azt jelenti, hogy PA merőleges PB-re.
Statisztika:
30 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Szalai Zsófia, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Wang Daqian. 4 pontot kapott: Aczél Gergely, Bartha Zsolt, Hursán Zsófia, Mezei Márk, Szórádi Márk, Zsupanek Alexandra. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai