A B. 4092. feladat (2008. május) |
B. 4092. Megadható-e négy pozitív egész szám úgy, hogy közülük bármely kettő legnagyobb közös osztója nagyobb mint 1, és bármely három legnagyobb közös osztója 1?
Javasolta: Szabó Péter
(3 pont)
A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Legyenek p,q,r,s,t,v különböző pozitív prímek, és tekintsük az a=pqs, b=prt, c=qrv, d=stv számokat. Az a,b,c számok közül semelyik kettő nem relatív prím, hiszen p közös prímosztója a-nak és b-nek, q közös prímosztója a-nak és c-nek, r pedig közös prímosztója b-nek és c-nek. Mivel d-nek is van közös prímosztója bármelyik másik számmal, bármely két szám legnagyobb közös osztója nagyobb mint 1. Másrészt a hat prím közül bármelyik pontosan két számnak osztója. Ezért semelyik három számnak nincs közös prímosztója, ami azt jelenti, hogy legnagyobb közös osztójuk 1.
Statisztika:
105 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 60 versenyző. 2 pontot kapott: 37 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai