A B. 4099. feladat (2008. május)

B. 4099. Egy 10×10-es táblázat minden egyes mezőjébe egy-egy számjegyet írtunk úgy, hogy minden egyes számjegy pontosan 10 mezőben szerepel. Bizonyítsuk be, hogy található olyan sor vagy oszlop, amelyben legalább 4 különböző szám fordul elő.

(Kvant)

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a_i és b_i azt, hogy az i számjegy hány különböző sorban, illetve oszlopban fordul elő. Tegyük fel, hogy minden sorban és minden oszlopban egyaránt legfeljebb 3 különböző szám fordul elő. Nevezzük blokknak az egy soron belül található egyforma számjegyek összességét. Indirekt feltevésünk értelmében minden sorban legfeljebb 3 blokk található, a blokkok száma tehát legfeljebb 30. Mivel az i számjegy pontosan a_i darab blokkban fordul elő, innen $a_0+a_1+\ldots+a_9\le 30$ adódik. Ugyanezt az oszlopokra is elvégezve kapjuk, hogy $b_0+b_1+\ldots+b_9\le 30$ . Ezért

$\sum_{i=0}^9(a_i+b_i)= \sum_{i=0}^9a_i + \sum_{i=0}^9b_i\le 60,$

vagyis kell legyen olyan i számjegy, amelyre a_i+b_i $\le$ 6. Ekkor a_ib_i $\le$ 9, ami azt jelenti, hogy az i számjegy a táblázatban legfeljebb 9 helyen fordul elő. Ez az ellentmondás bizonyítja az állítást.

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Zelena Réka, Zsupanek Alexandra.

4 pontot kapott: Aczél Gergely, Farkas Márton, Kovács 999 Noémi, Zieger Milán.

3 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Czeller Ildikó, Damásdi Gábor, Éles András, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Zelena Réka, Zsupanek Alexandra.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Farkas Márton, Kovács 999 Noémi, Zieger Milán.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?