 |
A B. 4105. feladat (2008. szeptember) |
B. 4105. A C csúcsú szög egyik szárán az A, a másik szárán a B pont úgy mozog, hogy CA+CB=1. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan pont, amelyen AB felezőmerőlegese mindig áthalad.
(4 pont)
A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az A, illetve B pont C-től legtávolabb eső helyzetét a megfelelő szögszáron jelölje A0 és B0, ekkor CA0=CB0=1. Az A0CB0 háromszög köré írható kör középpontját jelölje O, ez éppen a CA0 és CB0 szakaszok felező merőlegeseinek metszéspontja. Ha létezik az állításnak megfelelő pont, az nem lehet más, mint az O pont.
Mivel A0OC és COB0 egybevágó egyenlőszárú háromszögek, az előbbi egy O körüli 
forgatással átvihető az utóbbiba. Ez a forgatás tehát az A0C szakaszt a CB0 szakaszba viszi. Ha CA+CB=1, akkor B0B=1-BC=CA, vagyis a forgatás az A pontot éppen B-be viszi, ezért OA=OB, vagyis O valóban rajta van az AB szakasz felező merőlegesén.
Statisztika:
125 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 86 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző.
A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai