 |
A B. 4106. feladat (2008. szeptember) |
B. 4106. Melyek azok az ABCD síknégyszögek, melyekre e sík minden P pontja esetén
PA2+PC2=PB2+PD2
teljesül?
(4 pont)
A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Vezessük be az AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e, BD=f jelöléseket. Ha a P pontot A-nak választjuk, akkor az e2=a2+d2 összefüggésre jutunk. Hasonlóképpen kapjuk az e2=b2+c2, a2+b2=f2 és d2+c2=f2 összefüggéseket a P=C, P=B, illetve P=D választással. Az első két összefüggés alapján a2-b2=c2-d2, a másik kettőből pedig a2+b2=c2+d2 következik. Mivel tetszőleges p,q esetén az x-y=p, x+y=q egyenletrendszer egyértelműen megoldható, innen a2=c2 és b2=d2 adódik, vagyis a=c, b=d. Az ABCD négyszög tehát paralelogramma kell legyen. Sőt, e2=b2+c2=b2+a2=f2 miatt e=f, vagyis a feltételek teljesülése esetén az ABCD négyszög csakis téglalap lehet.
A téglalapokra viszont minden P pont esetén teljesül a feltétel. Ha ugyanis a P pont távolságát az AB, BC, CD, DA egyenesektől rendre u,v,w és z jelöli, akkor a Pithagorasz tétel alapján
PA2+PC2=(u2+z2)+(v2+w2)=(u2+v2)+(w2+z2)=PB2+PD2.
Statisztika:
123 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 69 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 17 versenyző. 0 pontot kapott: 16 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai