A B. 4107. feladat (2008. szeptember)

B. 4107. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív számok körében:

x⁴+y⁴-x²y²=13,

x²-y²+2xy=1.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A második egyenletből adódó x²-y²=1-2xy összefüggést négyzetre emelve kapjuk, hogy x⁴+y⁴-2x²y²=4x²y²-4xy+1. Ezt az első egyenletből kivonva az 5x²y²-4xy-12=0 összefüggést nyerjük. Az xy-ra kapott másodfokú egyenlet gyökei xy=2, illetve xy=-6/5, mely utóbbi xy>0 miatt nem jöhet szóba. A x²=u, y²=v helyettesítéssel tehát u²+v²=17 és u-v=-3. Innen u=v-3, vagyis (v-3)²+v²=17, 2v²-6v-8=0, tehát v lehetséges értékei 4 és -1, mely utóbbi v=y²>0 miatt nem jöhet szóba. Ezért y²=v=4 és x²=u=1, ahonnan x=1 és y=2 adódik, mely számpár az egyenletrendszert valóban ki is elégíti.

Statisztika:

221 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	156 versenyző.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai