A B. 4113. feladat (2008. október)

B. 4113. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c, d egészek és a+b+c+d=0, akkor 2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)+8abcd négyzetszám.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Vegyük észre, hogy

(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)=

=(a²+b²-c²-d²+2ab-2cd)(a²+b²-c²-d²-2ab+2cd)=

=(a²+b²-c²-d²)²-(2ab-2cd)²=

=a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-2a²b²-2a²c²-2a²d²-2b²c²-2b²d²-2c²d²+8abcd.

Ezt a 0-val egyenlő számot az S=2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)+8abcd számból kivonva kapjuk, hogy

S=a⁴+b⁴+c⁴+d⁴+2a²b²+2a²c²+2a²d²+2b²c²+2b²d²+2c²d²=

=(a²+b²+c²+d²)²,

ami valóban egy egész szám négyzete.

Statisztika:

113 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	96 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai