 |
A B. 4126. feladat (2008. november) |
B. 4126. Egy kör AB húrjának végpontjaiból bocsássunk merőlegeseket a kör egy A-tól és B-től különböző P pontjában húzott érintőjére, illetve bocsássunk merőlegest P-ből az AB húrra. Bizonyítsuk be, hogy a húrra bocsátott merőleges az érintőre bocsátott merőlegesek mértani közepe.
(4 pont)
A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás: A merőlegesek talppontját jelölje rendre C,D és M. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy M az AB félegyenes belső pontja. Ha M=B, vagyis PM=PB, akkor , tehát AP a kör átmérője, és ezért P=C, AP=AC is igaz. Egyébként pedig ha M az AB szakasz pontja, akkor
és
is hegyesszög, vagyis P a C és D pontok között helyezkedik el, ellenkező esetben pedig
tompaszög lesz, és ennek megfelelően a C pont esik P és D közé az ábrának megfeleleően. Mindkét esetben leolvasható a kerületi szögek tételéből, hogy
, vagyis az APC és PBM derékszögű háromszögek hasonlók. Ezért AC/PM=AP/PB ezekben az esetekben is teljesül.
Hasonlóan kapjuk a BPD és PAM háromszögek hasonlóságából, hogy BD/PM=BP/PA. Ezért
vagyis valóban AC.BD=PM2, .
Statisztika:
101 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 67 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai