Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4128. feladat (2008. november)

B. 4128. Az ABCD paralelogramma AC átlójának két különböző pontja P és Q. A P-n átmenő AB-vel párhuzamos egyenes a BC és AD oldalakat K-ban és L-ben, a Q-n átmenő BC-vel párhuzamos egyenes pedig az AB és CD oldalakat M-ben és N-ben metszi. Mutassuk meg, hogy a PNM és a QKL háromszögek területe egyenlő.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Húzzuk meg a P, illetve Q ponton át a paralelogramma másik oldalával párhuzamos egyenest is az ábra szerint. Ha a PQ szakasz hossza az AC átló hosszának \lambda-szorosa, akkor a párhuzamos szelők tételének értelmében az MM' szakasz hossza is \lambda-szorosa az AB oldal hosszának. Ezért az MNN'M' paralelogramma területe \lambda-szorosa az ABCD paralelogramma területének, míg a PNM háromszög területe ennek fele lesz. Ugyanezt az indoklást a KLL'K' paralelogrammával elmondva kapjuk, hogy a QKL háromszög területe is (\lambda/2)-szöröse az ABCD paralelogramma területének.

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:97 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai