 |
A B. 4130. feladat (2008. november) |
B. 4130. Adott véges sok szakasz egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy ha ezeket úgy rendezzük át, hogy bármely két szakasznak a középpontja közelebb kerül egymáshoz, akkor a szakaszok uniójának összhossza nem nő.
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az egyenest azonosítsuk a valós számegyenessel, az s szakasz átrendezés utáni képét jelölje s', a véges sok szakaszból álló S szakaszrendszer képe ennek megfelelően legyen S', t(S) pedig jelölje az S-beli szakaszok U(S) uniójának összhosszát. Elegendő az állítást olyan S szakaszrendszerek esetén bizonyítani, melyekre U(S) összefüggő. Valóban, ha , ahol
páronként diszjunkt szakaszok, akkor ennek alapján
már következik.
Legyen tehát U(S)=[a,b]. Azt kell igazolnunk, hogy t(S')
t([a,b])=b-a. U(S') legkisebb és legnagyobb elemét jelölje a', illetve b'. Mivel t(S')t([a',b'])=b'-a', elegendő azt megmutatni, hogy b'-a'b-a. Legyen s
S egy olyan szakasz, amelyre s' baloldali végpontja a', uS pedig egy olyan szakasz, amelyre u' jobboldali végpontja b'. Ha s=u, akkor U(S')=s', miatt az állítás nyilvánvaló. Feltesszük tehát, hogy s
u, és legyen [c,d] a legrövidebb intervallum, amely tartaltalmazza az s és u szakaszok egyesítését. Ekkor acdb, vagyis elegendő azt megmutatni, hogy b'-a'd-c. Jelölje s és u hosszát 
, illetve 
, középpontjaik távolságát pedig 
. Ekkor |-|
2 esetén d-c=max {,}, |-|2 esetén pedig , vagyis f(
)=d-c a mennyiség monoton növő függvénye. Ha tehát az s' és u' szakaszok középpontjának távolsága '<, akkor b'-a'=f(')<f()=d-c.
Statisztika:
29 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Kispéter Tamás, Nagy 648 Donát, Weisz Ágoston. 4 pontot kapott: Fonyó Dávid, Keresztfalvi Tibor, Strenner Péter, Varga 171 László. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző.
A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai