A B. 4133. feladat (2008. december)

B. 4133. Az ABCD téglalap BC és CD oldalán a P és Q pont úgy helyezkedik el, hogy az APQ háromszög szabályos. Bizonyítsuk be, hogy t_AQD+t_ABP=t_PCQ.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a PAB szög $\alpha$ , a QAD szög pedig $\beta$ , ezek összege tehát 30^o. Tegyük fel, hogy a szabályos háromszög oldala egységnyi. Ekkor AB=CD=cos $\alpha$ , AD=BC=cos $\beta$ , BP=sin $\alpha$ , DQ=sin $\beta$ , CP=BC-BP=cos $\beta$ -sin $\alpha$ és CQ=CD-DQ=cos $\alpha$ -sin $\beta$ . Ennek megfelelően a

sin $\alpha$ cos $\alpha$ +sin $\beta$ cos $\beta$ =(cos $\alpha$ -sin $\beta$ )(cos $\beta$ -sin $\alpha$ )

egyenlőséget kell igazolnunk, amit átírhatunk

sin 2 $\alpha$ +sin 2 $\beta$ =cos ( $\alpha$ - $\beta$ )

alakra. A baloldalt szorzattá alakítva sin 30^o=1/2 miatt valóban

sin 2 $\alpha$ +sin 2 $\beta$ =2sin ( $\alpha$ + $\beta$ )cos ( $\alpha$ - $\beta$ )=cos ( $\alpha$ - $\beta$ ).

Statisztika:

69 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Ágoston Tamás, Ambrits Dániel, Béres Ferenc, Botos Csongor, Böőr Katalin, Csörgő Judit, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Döbrei Gábor, Fónagy 092 Fanni, Fülep Csilla, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Klenk 191 Blanka, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lenger Dániel, Loose Lilla, Maknics András, Márki Róbert, Mezei Márk, Nagy 123 Balázs, Nguyen Sy Bang, Paripás Viktor, Réti Dávid, Strenner Péter, Szabó 124 Zsolt, Szepcsik Áron, Szili László, Szívós Eszter, Szórádi Márk, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Udvari Benjámin, Varga 009 Bálint, Varju 105 Tamás, Vécsey Máté, Végh János, Weisz Gellért, Welsz Edit, Zolcsák Zita, Zsakó András.

2 pontot kapott: 13 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai

69 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Ambrits Dániel, Béres Ferenc, Botos Csongor, Böőr Katalin, Csörgő Judit, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Döbrei Gábor, Fónagy 092 Fanni, Fülep Csilla, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Klenk 191 Blanka, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lenger Dániel, Loose Lilla, Maknics András, Márki Róbert, Mezei Márk, Nagy 123 Balázs, Nguyen Sy Bang, Paripás Viktor, Réti Dávid, Strenner Péter, Szabó 124 Zsolt, Szepcsik Áron, Szili László, Szívós Eszter, Szórádi Márk, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Udvari Benjámin, Varga 009 Bálint, Varju 105 Tamás, Vécsey Máté, Végh János, Weisz Gellért, Welsz Edit, Zolcsák Zita, Zsakó András.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?