A B. 4137. feladat (2008. december)

B. 4137. Legyen n pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy

$\sum_{0\le k<n/2} \binom{n}{2k+1} 13^k$

osztható 2^n-1-nel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje a szóban forgó kifejezést a_n. Ha i<0, illetve i>n esetén az $n\choose i$ binomiális együtthatót 0-nak értelmezzük, akkor ezt

$a_n=\sum{n\choose 2k+1}13^k$

alakban értelmezhetjük, ahol az összegzést az összes k egész számra végezzük ugyan, de az összegnek csak véges sok tagja lesz 0-tól különböző. Könnyen ellenőrizhető az is, hogy a szokásos

${n\choose i}+{n\choose i+1}={n+1\choose i+1}$

azonosság minden i egész szám esetén érvényben marad. Ennek alapján n $\ge$ 3 esetén egyrészt

$a_n-a_{n-1}=\sum{n\choose 2k+1}13^k-\sum{n-1\choose 2k+1}13^k=$

$=\sum{n-1\choose 2k}13^k=\sum{n-2\choose 2k}13^k+ \sum{n-2\choose 2k-1}13^k,$

másrészt

$a_{n-1}=\sum{n-1\choose 2k+1}13^k=\sum{n-2\choose 2k+1}13^k+ \sum{n-2\choose 2k}13^k,$

vagyis

$a_n-2a_{n-1}=\sum{n-2\choose 2k-1}13^k-\sum{n-2\choose 2k+1}13^k=$

$=13\sum{n-2\choose 2k-1}13^{k-1}-\sum{n-2\choose 2k+1}13^k =12\sum{n-2\choose 2k+1}13^k=12a_{n-2}.$

Innen már n szerinti teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy a_n=2^n-1b_n teljesül alkalmas b_n egész számmal. Valóban, a₁=1, a₂=2 miatt ez b₁=b₂=1 választással adódik, n $\ge$ 3 esetén pedig az indukciós feltevést alkalmazva

a_n=2a_n-1+12a_n-2=2^.2^n-2b_n-1+12^.2^n-3b_n-2=2^n-1(b_n-1+3b_n-2).

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Kovács 888 Adrienn, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.

4 pontot kapott: Bálint Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Perjési Gábor, Strenner Péter, Tuan Nhat Le.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai

27 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Kovács 888 Adrienn, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	Bálint Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Perjési Gábor, Strenner Péter, Tuan Nhat Le.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?