Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4146. feladat (2009. január)

B. 4146. Mutassuk meg, hogy az 5x2+3y2=1 egyenletnek nincsen megoldása a racionális számok körében.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan a,b,c,d egész számok, ahol b,d\ne0, melyekre 5(a/b)2+3(c/d)2=1, vagyis 5(ad)2+3(bc)2=(bd)2 teljesül. Ez azt jelenti, hogy az 5x2+3y2=z2 egyenletnek létezik egész számokból álló megoldása, ahol z\ne0. Tekintsünk egy olyan (x,y,z) megoldást, ahol z abszolút értéke a lehető legkisebb. Ha x nem osztható 3-mal, akkor x2 3-mal osztva 1 maradékot ad, 5x2 pedig ennek megfelelően 2-t. Vagyis z2 is 2 maradékot kell adjon 3-mal osztva, ami nem lehet. Ezért 3\mid x, vagyis z2=5x2+3y2 is osztható 3-mal. Következésképpen 3\mid z, ahonnan 9\mid z^2-5x^2=3y^2, 3\mid y^2, végül 3\mid y adódik. Ekkor azonban az x1=x/3, y1=y/3, z1=z/3\ne0 egész számokra teljesül 5x12+3y12=z12, és |z1|<|z|. Ez az ellentmondás igazolja a feladat állítását.

Statisztika:

101 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:67 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai