Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4148. feladat (2009. január)

B. 4148. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

x3y+xy3=10,

x4+y4=17.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Az xy=a,x2+y2=b helyettesítéssel az egyenletek ab=10, b2-2a2=17 alakra hozhatók. Innen b2-2(10/b)2-17=0, b4-17b2-200=0 adódik. A másodfokú egyenletet b2-re megoldva kapjuk, hogy b2=25, a másik gyök ugyanis negatív. Mivel b\ge0, innen b=5, a=2 adódik. Ebből kiindulva kapjuk, hogy (x+y)2=b+2a=9, (x-y)2=b-2a=1, vagyis x+y=\pm3, x-y=\pm1. A négy előjelkombinációnak megfelelően négy lehetőséghez jutunk:

x_1=2,\ y_1=1;\quad x_2=1,\ y_2=2;\quad x_3=-1,\ y_3=-2;\quad x_4=-2,\ y_4=-1.

Az egyenletrendszert mind a négy számpár kielégíti.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:89 versenyző.
3 pontot kapott:39 versenyző.
2 pontot kapott:18 versenyző.
1 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:7 versenyző.
Nem versenyszerű:8 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai