A B. 4151. feladat (2009. január)

B. 4151. Legyen $\alpha$ = $\pi$ /14. Mennyi sin $\alpha$ ^.sin 3 $\alpha$ ^.sin 5 $\alpha$ értéke?

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A sin x=cos ( $\pi$ /2-x) összefüggés segítségével írjuk át a kifejezést

$K=\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{3\pi}{7}$

alakra. A 2cos xcos y=cos (x-y)+cos (x+y) képlet ismételt alkalmazásával

$K=\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{7}\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7} \Bigr)=\frac{1}{4}\Bigl(\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+ \cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\Bigr)=$

$=\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+ \cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+ \cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\Bigr).$

Tekintsük azt az origó középpontú egységsugarú körbe írt szabályos hétszöget, amelynek egyik csúcsa az (1;0) pont. Szimmetria okokból az origóból a hétszög csúcsaiba mutató vektorok összege nulla. Ugyanakkor ennek az összegvektornak az első koordinátája éppen az előbbi zárójelben található hét koszinusz összege, vagyis ez utóbbi értéke 0. Így hát a keresett érték K=1/8.

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 58 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai

66 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	58 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?