A B. 4161. feladat (2009. február)

B. 4161. Tegyük föl, hogy a természetes számok halmazának véges sok pozitív elemét elhagyva egy olyan S halmazt kaptunk, amely zárt az összeadásra. Legyen az S egyik eleme k. Hány olyan eleme van S-nek, amiből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk?

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Tekintsük $x=0,1,2,\ldots,k-1$ esetén az $S_x=S\cap\{x,x+k,x+2k,\ldots\}$ halmazt, ezek egyike sem lehet üres. Rögzített x esetén legyen s_x=x+ik az S_x halmaz legkisebb eleme, nyilván $s_x-k\not\in S$ . Azonban k $\in$ S miatt s_x+k $\in$ S, és általában, ha s_x+jk $\in$ S, akkor s_x+(j+1)k $\in$ S, vagyis $S_x=\{s_x,s_x+k,s_x+2k,\ldots\}$ . Ezért s_x $\ne$ y $\in$ S_x esetén y-k $\in$ S_x $\subset$ S, tehát minden egyes S_x halmaz S-nek pontosan egy olyan elemét tartalmazza, amelyből k-t kivonva S-hez nem tartozó számot kapunk. Mivel S a páronként diszjunkt S_x halmazok egyesítése, a szóban forgó elemek száma éppen k.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.

2 pontot kapott: Lajos Mátyás.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 11 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2009. februári matematika feladatai

26 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Balla Attila, Baranyai Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Korondi Zénó, Kunos Vid, Mészáros András, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Zsakó András.
2 pontot kapott:	Lajos Mátyás.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?