Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4167. feladat (2009. március)

B. 4167. Egy n pozitív egészre jelölje f(n) az n tízes számrendszerbeli alakjának a megfordításával kapható számot. (Tehát f(2500)=52, f(1456)=6541.) Keressük meg azokat a pozitív egész k számokat, amelyekre teljesül, hogy tetszőleges n többszörösükre k az f(n) számnak is osztója.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A keresett számokat nevezzük röviden jónak. Tegyük fel, hogy k jó. Ekkor k<10m teljesül alkalmas m pozitív egész számmal, vagyis k-nak van olyan n többszöröse, amelyre 10m\len<2.10m. Erre az n számra f(n) utolsó jegye 1-es, vagyis f(n) nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. Ezért a k szám relatív prím a 10-hez. Az Euler-Fermat tétel szerint a t=\varphi(9k)\ge6 szám olyan, hogy 10t-1 osztható 9k-val, vagyis k osztója nemcsak a 10t-1 számnak, de a t-jegyű csupa 1-esből álló K számnak is. Tehát

k\mid 19K= 20K-K=\underbrace{22\ldots2}_t0-\underbrace{11\ldots1}_t =2\underbrace{11\ldots1}_{t-2}09,

ahonnan

k\mid f(19K)=90\underbrace{11\ldots1}_{t-2}2

adódik. Innen

k\mid L=f(19K)-80K=90\underbrace{11\ldots1}_{t-2}2- \underbrace{88\ldots8}_t0=1\underbrace{22\ldots2}_{t-3}32,

majd

k\mid 2K-L=\underbrace{22\ldots2}_t-1\underbrace{22\ldots2}_{t-3}32= 10^{t-1}-10

következik. Mindent összevetve kapjuk, hogy

k\mid (10^t-1)-10(10^{t-1}-10)=99,

vagyis k lehetséges értékei 1, 3, 9, 11, 33 és 99. A 3-as, 9-es és 11-es oszthatósági szabályok ismeretében könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezen hat szám mindegyike valóban jó.

Statisztika:

28 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Huszár Kristóf, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Tuan Nhat Le, Varga 171 László.
4 pontot kapott:Barczel Nikolett, Nagy 111 Miklós.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai