A B. 4168. feladat (2009. március)

B. 4168. Az ABC háromszög beírt körének középpontja K, az AB oldal felezőpontja F, a hozzáírt kör AB oldalon lévő érintési pontja G. Bizonyítsuk be, hogy a CG és KF egyenesek párhuzamosak.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: AC=BC esetén a két egyenes egybeesik, egyébként pedig szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy BC>AC. A párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján elég annyit megmutatni, hogy CX:KX=GX:FX, ahol X a CK egyenesnek, vagyis a C-ből induló szögfelezőnek az AB oldallal alkotott metszéspontja. A szokásos jelöléseket használva 2t=cm_c=r(a+b+c) miatt

$\frac{CX}{KX}=\frac{m_c}{r}=\frac{a+b+c}{c}.$

Másrészt a szögfelező-tétel alapján

$FX=BX-BF=\frac{a}{a+b}\cdot c-\frac{c}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{c}{2}$

és

$GX=BX-BG=\frac{a}{a+b}\cdot c-(s-a)=\frac{2ac-(a+b)(b+c-a)}{2(a+b)}= \frac{(a+b+c)(a-b)}{2(a+b)},$

vagyis valóban

$\frac{GX}{FX}=\frac{a+b+c}{c}=\frac{CX}{KX}.$

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Dunay Luca, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Janosov Milán, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 123 Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.

3 pontot kapott: Kiss Boldizsár, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Szenczi Zoltán.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai

46 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Beke Lilla, Bicskei Dávid, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Dunay Luca, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Janosov Milán, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Maknics András, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 123 Balázs, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	Kiss Boldizsár, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Szenczi Zoltán.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?