 |
A B. 4169. feladat (2009. március) |
B. 4169. Igazoljuk, hogy ha a, b, c páronként különböző pozitív egészek, akkor
S=(42a+43b+43c)3+(43a+42b+43c)3+(43a+43b+42c)3
-3(42a+43b+43c)(43a+42b+43c)(43a+43b+42c)
osztható 128-cal, de nem teljes 2-hatvány.
Javasolta: Nagy Donát
(5 pont)
A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Legyen x=42a+43b+43c, y=43a+42b+43c és z=43a+43b+42c. Ekkor x-y=b-a, x-z=c-a és y-z=c-b miatt x,y,z páronként különböző pozitív egészek, melyek összege x+y+z=128(a+b+c) osztható 128-cal. Ekkor
S=x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)=
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
is nyilván osztható 128-cal. Ha ez a szám 2-hatvány akkor az x,y,z számok d legnagyobb közös osztója is 2-hatvány. Az r=x/d,s=y/d,v=z/d jelöléssel
S/d3=(r+s+v)(r2+s2+v2-rs-sv-vr)
is 2-hatvány, az r,s,v páronként különböző pozitív egészeknek pedig nincsen egynél nagyobb közös osztója. Mivel r+s+v egynél nagyobb 2-hatvány, az r,s,v számok közül egy páros, kettő pedig páratlan. Ezért a másik tényező páratlan 2-hatvány, vagyis
r2+s2+v2-rs-sv-vr=1, (r-s)2+(s-v)2+(v-r)2=2.
Ez azonban ellentmond annak, hogy r,s,v páronként különböző egész számok.
Statisztika:
76 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Jernei Tamás, Kiss 902 Melinda Flóra, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mester Márton, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Szenczi Zoltán, Szórádi Márk, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Weisz Gellért. 4 pontot kapott: Bali Gábor, Bálint Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Énekes Péter, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Nagy 111 Miklós, Németh Bence, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Vajk Dóra, Vuchetich Bálint, Zelena Réka, Zsakó András. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai