A B. 4171. feladat (2009. március)

B. 4171. Egy baktérium minden másodpercben p valószínűséggel elpusztul, 1-p valószínűséggel pedig osztódik két ugyanolyan baktériummá (a leszármazottak egymástól függetlenül pusztulnak el, vagy osztódnak). Mekkora annak a valószínűsége, hogy a baktérium kihal?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha p=1, akkor a baktérium 1 valószínűséggel már az első másodperc végére kihal. Tegyük fel tehát, hogy p<1, és jelöljük q-val a keresett valószínűséget. A baktérium p valószínűséggel már az első másodperc végére kihal. Tegyük fel, hogy az első másodpercben kettéosztódott. Mindkét leszármazott egymástól függetlenül q valószínűséggel fog kipusztulni, ezért feltéve azt az 1-p valószínűségű eseményt, hogy a baktérium az első másodpercben nem halt ki, q² lesz annak a valószínűsége, hogy ezután mégis kihal.

Így fennáll a q=p+(1-p)q² összefüggés, ahonnan q lehetséges értékeire a másodfokú egyenletből q₁=1, illetve $q_2=\frac{p}{1-p}$ adódik. Ha p $\ge$ 1/2, akkor q₂ $\ge$ 1, így q $\le$ 1 miatt q értéke csakis 1 lehet, p<1/2 esetén kizárólag ennek alapján viszont még nem dönthető el, hogy a baktérium q₁=1 valószínűséggel, vagy pedig az 1-nél kisebb q₂ valószínűséggel hal ki.

Megmutatjuk, hogy a valóságnak az utóbbi lehetőség felel meg. Legyen tehát p<1/2, és jelölje Q_n annak a valószínűségét, hogy a baktériumnak az n-edik másodperc leteltével már nem lesznek utódai. Ekkor Q₁=p, n $\ge$ 1 esetén pedig az első érveléssel teljesen analóg módon azt kapjuk, hogy Q_n+1=p+(1-p)Q_n². Nyilván $Q_1=p\le \frac{p}{1-p}=q_2$ , és ha Q_n $\le$ q₂ igaz, akkor

$Q_{n+1}=p+(1-p)Q_n^2\le p+(1-p)q_2^2=p+(1-p)\left(\frac{p}{1-p}\right)^2 =\frac{p}{1-p}=q_2$

is teljesül. Ezért a monoton növő Q_n sorozat egyik tagja sem nagyobb q₂-nél, vagyis q-t ennek a sorozatnak a határértékeként kapva q $\le$ q₂ is teljesül.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kovács 999 Noémi, Lovas Lia Izabella, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Varga 171 László, Weisz Ágoston.

4 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Frankl Nóra, Rábai Domonkos.

3 pontot kapott: 19 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kovács 999 Noémi, Lovas Lia Izabella, Nagy 648 Donát, Paripás Viktor, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Csere Kálmán, Frankl Nóra, Rábai Domonkos.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?