A B. 4177. feladat (2009. április)

B. 4177. Az ABC háromszög körülírt körének B és C pontban húzott érintői az M pontban metszik egymást. Az M ponton át húzott, AB-vel párhuzamos egyenes az AC egyenest az N pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AN=BN.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az M pont létrejöttének szükséges és elégséges feltétele, hogy a BC szakasz ne átmérője legyen a körülírt körnek, vagyis a háromszög A csúcsnál lévő szöge ne legyen derékszög. Ha tompaszög, akkor az A és M pontok a BC egyenesnek ugyanarra az oldalára esnek, az N pont pedig a CA félegyenes A-n túli meghosszabbítására esik. Ha hegyesszög és CA=CB, akkor N=C, és az állítás nyilvánvaló, egyébként pedig az N pont aszerint esik az AC szakaszra, illetve az AC félegyenes C-n túli meghosszabbítására, hogy a BC oldal rövidebb-e, vagy hosszabb az AC oldalnál. Mindhárom esetben hasonló gondolatokra épül a bizonyítás, csak a részletekben van apró eltérés. A megoldás kulcsa annak észrevétele, hogy az B,C,M,N pontok és a körülírt kör O középpontja egy körvonalra esnek.

Tegyük fel, hogy <90^o és BC<AC. A kerületi és középponti szögek tétele értelmében a BCM,CBM,BOM és COM szögek mindegyike -val egyenlő, a B,C,O,M pontok egy k körön helyezkednek el. A párhuzamosság miatt az MNC szög is , ezért az N pont is k-ra esik, minek következtében a BM szakasz az N pontból is szög alatt látszik, és így az ABN szög, amely az MNB szöggel váltószöget alkot, szintén nagyságú. Az ABN háromszög tehát egyenlő szárú, AN=BN.

A BC>AC esetben mindössze annyi a különbség, hogy az MNC szög nagysága 180^o-, de most B és N az MC húr különböző oldalára esnek, ezért illeszkedik az N pont is a k körre. A tompaszögű esetben pedig minden szög, ami az első esetben volt, 180^o- nagyságú lesz, kivéve az MNB szöget, amelyre most adódik. Most viszont az MNB és ABN szögek 180^o-ra egészítik ki egymást, ezért lesz az ABN és a BAN szög egyaránt 180^o-.

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ádám Liliána, Blázsik Zoltán, Dinh Hoangthanh Attila, Fonyó Dávid, Győrfi 946 Mónika, Hajdók Soma, Horowitz Gábor, Horváth 131 Anna, Horváth 606 Roland, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Kovács 999 Noémi, Loose Lilla, Márkus Bence, Mester Márton, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tóth 222 Barnabás, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Zelena Réka.
3 pontot kapott:	45 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai