A B. 4180. feladat (2009. április)

B. 4180. Bizonyítsuk be, hogy az $a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big]$ sorozat 3-nak végtelen sok egész kitevős hatványát tartalmazza.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tetszőleges $\alpha$ pozitív egész esetén jelölje $n_\alpha$ azt a jól meghatározott egész számot, amelyre $n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<(n_\alpha+1)\sqrt{2}$ teljesül ( $\sqrt{2}$ iracionalitása miatt $3^\alpha/\sqrt{2}$ nem lehet egész szám). A $3^\alpha$ szám pontosan akkor eleme az a_n sorozatnak, ha $3^\alpha>(n_\alpha+1)\sqrt{2}-1$ . Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben $\alpha$ $\ge$ $\beta$ esetén $3^\alpha$ nem eleme az a_n sorozatnak, vagyis $n_\alpha\sqrt{2}<3^\alpha<n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)$ . Legyen $\gamma$ a legkisebb pozitív egész, amelyre $3^\gamma(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})>\sqrt{2}-1$ teljesül, ekkor $0<3^{\gamma-1}(3^\beta-n_\beta\sqrt{2})<\sqrt{2}-1$ . Ebben az esetben

$3^\gamma n_\beta\sqrt{2}< 3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^{\beta+\gamma}< 3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+3(\sqrt{2}-1)<3^\gamma n_\beta\sqrt{2}+\sqrt{2},$

vagyis $\alpha$ = $\beta$ + $\gamma$ esetén $n_\alpha=3^\gamma n_\beta$ és $n_\alpha\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)<3^\alpha$ , ami ellentmond $\beta$ választásának.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zsakó András.

4 pontot kapott: Strenner Péter, Tuan Nhat Le.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zsakó András.
4 pontot kapott:	Strenner Péter, Tuan Nhat Le.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?