A B. 4185. feladat (2009. május)

B. 4185. Mutassuk meg, hogy minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője osztható 3-mal.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle i\in \{0,1,2\}\). Az \(\displaystyle f\) polinomot nevezzük \(\displaystyle i\)-típusúnak, ha benne minden tag kitevője 3-mal osztva \(\displaystyle i\) maradékot ad, az \(\displaystyle x^5-3x^2\) polinom például 2-típusú. Könnyen ellenőrizhet, hogy ha egy \(\displaystyle f\) polinom \(\displaystyle i\)-típusú, \(\displaystyle g\) pedig \(\displaystyle j\)-típusú, akkor \(\displaystyle fg\) szorzatuk \(\displaystyle (i+j)\)-típusú, ahol az összegzést modulo 3 értjük. Mármost tetszőleges \(\displaystyle p\) polinomot egyértelműen felírhatunk \(\displaystyle p=p_0+p_1+p_2\) alakban, ahol a \(\displaystyle p_i\) polinom \(\displaystyle i\)-típusú. Ekkor mind a \(\displaystyle p_i^3\) polinomok, mind a \(\displaystyle p_0p_1p_2\) polinom 0-típusúak lesznek. Az

\(\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=a^3+b^3+c^3-3abc\)

azonosságból leolvashatjuk hát, hogy a \(\displaystyle p_0^3+p_1^3+p_2^3-3p_0p_1p_2\) polinom a \(\displaystyle p\) polinomnak \(\displaystyle 0\)-típusú többszöröse, és éppen ilyen polinomot kerestünk.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Keresztfalvi Tibor, Kovács 235 Gábor, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:	Jernei Tamás, Márki Róbert.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai