A B. 4188. feladat (2009. május)

B. 4188. Az ABCD négyszög AB és CD oldala nem párhuzamos. Legyen ezen oldalak egy-egy belső pontja E, illetve F. Bizonyítsuk be, hogy az AF, CE, BF és DE szakaszok felezőpontjai egy olyan konvex négyszöget határoznak meg, amelynek területe nem függ az E és F pontok helyzetétől.

Kvant

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, a $\displaystyle PR$ szakasz, mint az $\displaystyle ABF$ háromszög egyik középvonala, párhuzamos az $\displaystyle AB$ oldallal, fele olyan hosszú, és áthalad az $\displaystyle EF$ szakasz felezőpontján. Hasonlóképpen a $\displaystyle QS$ szakasz párhuzamos a $\displaystyle CD$ oldallal, fele olyan hosszú, és szintén áthalad az $\displaystyle EF$ szakasz felezőpontján. Az $\displaystyle EF$ szakasz felezőpontja ezek szerint belső pontja mind a $\displaystyle PR$, mind a $\displaystyle QS$ szakasznak, melyek egymással nem párhuzamosak, hanem ugyanakkora $\displaystyle \vartheta$ szöget zárnak be, mint az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ egyenesek. Ezért a $\displaystyle P,Q,R,S$ pontok, ebben a sorrendben, valóban egy konvex négyszög csúcsai. Ennek területe pedig

$\displaystyle t=\frac{1}{2}\cdot PR\cdot QS\cdot \sin\vartheta=\frac{AB\cdot CD\cdot \sin\vartheta}{8},$

ami tényleg független az $\displaystyle E,F$ pontok helyzetének megválasztásától.

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Frankl Nóra, Gyarmati Máté, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Mailach Petra, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Tuan Nhat Le, Varga 171 László, Varju 105 Tamás.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai