A B. 4205. feladat (2009. október)

B. 4205. Az A, B, C, D pontok úgy mozognak a síkban, hogy AD=BC=2 és AC=BD=4 mindig teljesül, továbbá az AC és BD szakaszok metszik egymást. Hogyan függ az AB távolságtól a CD távolság?

(Műszaki Egyetem feladatgyűjteményéből)

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban $\displaystyle BAD\sphericalangle+CDA\sphericalangle=180^\circ$, vagyis $\displaystyle \cos BAD\sphericalangle+\cos CDA\sphericalangle=0$. A koszinusz tétel szerint

$\displaystyle \frac{AB^2+2^2-4^2}{2\cdot 2AB}+\frac{CD^2+2^2-4^2}{2\cdot 2CD}=0,$

ahonnan felszorzás és rendezés után az

$\displaystyle (AB+CD)(AB\cdot CD-12)=0$

egyenlőségre jutunk, vagyis $\displaystyle CD=12/AB$.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	76 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai