A B. 4209. feladat (2009. október)

B. 4209. Az ABC hegyesszögű háromszögben az A-ból, illetve B-ből induló magasságok talppontjai A₁, illetve B₁; a háromszög magasságpontja M. A B-ből induló súlyvonal az A₁B₁ egyenest a P pontban metszi. Igazoljuk, hogy a akkor és csak akkor derékszög, ha B₁C=3AB₁.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontját \(\displaystyle F\). Ha \(\displaystyle B_1=F\), akkor \(\displaystyle P=F\), és a szóban forgó szög 0. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle AF\) szakasz belső pontja, vagyis \(\displaystyle B_1C>AB_1\). Mivel \(\displaystyle AB_1B\sphericalangle=AA_1B\sphericalangle=90^\circ\), az \(\displaystyle ABA_1B_1\) négyszög húrnégyszög, tehát \(\displaystyle ABB_1\sphericalangle=AA_1B_1\sphericalangle\). A \(\displaystyle BPM\) szög pontosan akkor derékszög, ha az \(\displaystyle MBA_1P\) négyszög húrnégyszög, vagyis ha \(\displaystyle MBP\sphericalangle=MA_1P\sphericalangle\). Az előbbiek miatt ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle ABB_1\sphericalangle=FBB_1\sphericalangle\), vagyis ha \(\displaystyle BB_1\) szögfelező az \(\displaystyle ABF\) háromszögben. Ez a szögfelező pontosan akkor esik egybe az \(\displaystyle ABF\) háromszög \(\displaystyle BB_1\) magasságvonalával, ha \(\displaystyle ABF\) egyenlő szárú háromszög, vagyis ha \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle AF\) szakasz felezőpontja, ami éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle B_1C=3AB_1\).

Ha \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle FC\) szakasz belső pontja, vagyis \(\displaystyle B_1C<AB_1\), akkor \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BFC\) háromszögbe esik, \(\displaystyle P\) pedig a háromszögön kívül helyezkedik el. Könnyű belátni, hogy ekkor a \(\displaystyle BPM\) szög hegyesszög. Valóban, ha \(\displaystyle B_1\) a \(\displaystyle PA_1\) szakasz belső pontja, akkor \(\displaystyle BF\) és \(\displaystyle AA_1\) metszéspontját \(\displaystyle X\)-szel jelölve, \(\displaystyle BPM\sphericalangle<BPA_1\sphericalangle<BXA_1<90^\circ\). Ha pedig \(\displaystyle A_1\) esik a \(\displaystyle B_1P\) szakaszra, akkor nyilván \(\displaystyle BPM\sphericalangle< BPC\sphericalangle<FBC\sphericalangle<ABC\sphericalangle<90^\circ\).

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Beke Lilla, Boér Lehel, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Janosov Milán, Janzer Olivér, Jászberényi Tünde, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lencz András, Lencz Éva, Mailach Petra, Márkus Bence, Máthé László, Mátrahegyi Roland, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Milánkovich Dorottya, Nagy Róbert, Nagy-György Péter, Ódor Gergely, Orsós Ferenc Richárd, Rábai Domonkos, Somogyi Ákos, Tóth 222 Barnabás, Uray Marcell János, Veres Andrea, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai