 |
A B. 4223. feladat (2009. december) |
B. 4223. Tekintsük az (1;36), (2;35), ..., (12;25) számpárokat. Kiválasztható-e a megadott számpárok mindegyikéből egy-egy szám úgy, hogy a kiválasztott számok összege egyenlő a nem kiválasztott számok összegével? Módosul-e a válasz, ha az utolsó két számpárt elhagyjuk?
Javasolta: Pataki János (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha az 1., 4., 5., 8., 9. és 12. számpárból az első elemet, a maradék hatból pedig a második elemet választjuk ki, akkor mind a kiválasztott, mind a ki nem választott számok összege egyaránt \(\displaystyle 6\times 37=222\) lesz. Ezzel szemben, ha elhagyjuk az utolsó két számpárt, akkor a kiválasztás már nem valósítható meg kívánt módon. Ekkor ugyanis 10 számpárunk van úgy, hogy bennük található számok összege \(\displaystyle 10\times 37\), de nem lehet mindegyikből egy-egy számot úgy kiválasztani, hogy azok összege \(\displaystyle 5\times 37=185\) legyen.
Valóban, ha hat olyan számpár is van, amelyikből a második, vagyis a nagyobbik számot választjuk ki, akkor a kiválasztott számok összege legalább
\(\displaystyle (27+28+29+30+31+32)+(1+2+3+4)=187,\)
ha pedig legfeljebb négy számpárból választjuk a nagyobbik számot, akkor a ki nem választott számok összege lesz legalább ennyi. Végül ha pontosan öt olyan számpár van, amelyikből a kisebb számot választottuk, akkor legyen ezek között a páratlanok száma \(\displaystyle c\), a párosoké pedig \(\displaystyle 5-c\). A megmaradt számpárok közül tehát \(\displaystyle 5-c\) esetben lesz páratlan a kisebbik szám, \(\displaystyle c\) esetben pedig páros. Mivel ezekből a számpárokból a nagyobbik számot választottuk, és minden egyes számpáron belül a kisebbik és a nagyobbik szám paritása ellentétes, összesen \(\displaystyle 2c\) darab páratlan számot választottunk ki, vagyis a kiválasztott számok összege ebben az esetben mindenképpen páros, így nem lehet 185.
Statisztika:
150 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 63 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 42 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai