A B. 4225. feladat (2009. december)

B. 4225. Oldjuk meg az

$\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} + \frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} = 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},$

$\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} = 4$

egyenletrendszert.

Javasolta: Bíró Bálint

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vezessük be az $\displaystyle a=\sqrt{y+z}$, $\displaystyle b=\sqrt{x+z}$, $\displaystyle c=\sqrt{x+y}$ jelöléseket, itt $\displaystyle c$ nemnegatív, $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet $\displaystyle a+b+c=4$, míg az első

$\displaystyle \frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,$

átrendezés és 4-gyel történő leosztás után pedig

$\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4$

alakra hozható. Ennek megoldása $\displaystyle a=b=1$, $\displaystyle c=2$, hiszen pozitív $\displaystyle x$ esetén $\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2$, ahol egyenlőség csak $\displaystyle x=1$ esetén áll fenn. Vagyis $\displaystyle y+z=x+z=1$, $\displaystyle x+y=4$, az egyenletrendszer megoldása pedig $\displaystyle x=y=2$, $\displaystyle z=-1$.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 75 versenyző.

2 pontot kapott: 35 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai

116 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	75 versenyző.
2 pontot kapott:	35 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?