A B. 4227. feladat (2009. december)

B. 4227. Igaz-e, hogy ha az a, b, c és d szakaszokból szerkeszthető négyszög, akkor szerkeszthető belőlük húrnégyszög is?

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott szakaszokból pontosan akkor szerkeszthető négyszög, ha bármelyik három (hosszának) összege nagyobb a negyediknél. Megmutatjuk, hogy ha az teljesül, akkor létezik olyan húrnégyszög, melynek oldalai $\displaystyle a,b,c,d$ hosszúak, az előírt sorrendben. A megoldás alapján könnyen megadható olyan szerkesztési eljárás is, amely az egybevágóság erejéig egyértelmű megoldást szolgáltatja.

Tegyük fel, hogy

$\displaystyle \max\{|a-b|,|c-d|\}<f<\min\{a+b,c+d\}.$

Ekkor egy $\displaystyle f$ hosszúságú $\displaystyle AC$ szakasz két különböző oldalára megszerkesztehető egy-egy $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle ADC$ háromszög úgy, hogy $\displaystyle AB=a$, $\displaystyle BC=b$, $\displaystyle CD=c$ és $\displaystyle DA=d$ legyen. A két háromszög egyesítése pontosan akkor lesz húrnégyszög, ha a $\displaystyle B$-nél lévő $\displaystyle \beta$ és a $\displaystyle D$-nél lévő $\displaystyle \delta$ szögre $\displaystyle \beta+\delta=180^\circ$, vagyis ha $\displaystyle \cos\beta+\cos\delta=0$. Mivel a koszinusz-tétel szerint

$\displaystyle \cos\beta=\frac{a^2+b^2-f^2}{2ab}\qquad \hbox{ill.}\qquad \cos\delta=\frac{c^2+d^2-f^2}{2cd},$

ez pontosan akkor teljesül, ha

$\displaystyle f^2=x=\frac{(a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab}{ab+cd}.$

Azt kell tehát csak ellenőriznünk, hogy erre az $\displaystyle x$ számra

$\displaystyle \max\{(a-b)^2,(c-d)^2\}<x<\min\{(a+b)^2,(c+d)^2\}$

teljesül. Az $\displaystyle x<(a+b)^2$ feltétel ekvivalens az

$\displaystyle (a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab<(a^2+2ab+b^2)(ab+cd)$

feltétellel, ami rendezés és $\displaystyle ab$-vel történő leosztás után $\displaystyle (c-d)^2<(a+b)^2$ alakra hozható. Ez teljesül, hiszen $\displaystyle c-d<a+b$ és $\displaystyle d-c<a+b$ is fennáll. Szimmetria okok miatt $\displaystyle x<(c+d)^2$ is teljesül. Az $\displaystyle x>(a-b)^2$ feltétel pedig ekvivalens az

$\displaystyle (a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab>(a^2-2ab+b^2)(ab+cd)$

feltétellel, amit hasonlóképpen $\displaystyle (c+d)^2>(a-b)^2$ alakra hozhatunk. Ez is teljesül tehát, és ugyanígy $\displaystyle x>(c-d)^2$ is.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Kószó Simon, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 pontot kapott:	Karl Erik Holter, Kiss 902 Melinda Flóra, Mailach Petra.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai