 |
A B. 4229. feladat (2009. december) |
B. 4229. Az ABCD parallelogrammában 2BD2=BA2+BC2. Mutassuk meg, hogy a BCD háromszög köré írt kör átmegy az AC átló egyik harmadolópontján.
Javasolta: Koncz Levente (Budapest)
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Ismeretes, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalainak négyzetösszegével; ez könnyen igazolható pl. a koszinusz-tétel segítségével. Ezért
\(\displaystyle AC^2+BD^2=2(BA^2 + BC^2)=4BD^2,\)
ahonnan \(\displaystyle AC^2=3BD^2\), \(\displaystyle AC=\sqrt{3}BD\). Legyen a \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle AC\) szakaszok közös felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AC\) átló \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle H\). Ekkor \(\displaystyle 3FH=FC=\sqrt{3}FB=\sqrt{3}FD\) miatt \(\displaystyle FC:FB=FD:FH=\sqrt{3}\), vagyis az \(\displaystyle FCB\) háromszög hasonló az \(\displaystyle FDH\) háromszöghöz. Ezért a \(\displaystyle HB\) szakasz a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokból ugyanakkora szög alatt látszik, vagyis a \(\displaystyle H,B,C,D\) pontok, ebben a sorrendben, egy körre illeszkednek. Ez bizonyítja az állítást.
Statisztika:
61 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Árvay Balázs, Bauer Barbara, Beke Lilla, Béres Ferenc, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Csörgő András, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dorkó Barbara, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Nemecskó István, Németh 217 Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Tóth 419 Péter, Uray Marcell János, Varju 105 Tamás, Veres Andrea, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai