A B. 4230. feladat (2009. december)

B. 4230. Egy szabályos négyoldalú gúla minden éle egységnyi hosszú. Határozzuk meg két kitérő élegyenes távolságát.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Szimmetria okok miatt bármely két kitérő élegyenes távolsága ugyanannyi. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a gúla alaplapja az $\displaystyle ABCD$ négyzet , csúcsa pedig az $\displaystyle E$ pont legyen, ahol az $\displaystyle A,B,C,D$ csúcsok koordinátái rendre $\displaystyle (0;0;0)$, $\displaystyle (1;0;0)$, $\displaystyle (1;1;0)$ és $\displaystyle (0;1;0)$, az $\displaystyle E$ csúcs pedig a pozitív térnyolcadba esik. Az $\displaystyle A$ csúcs $\displaystyle E$-re vett $\displaystyle T$ tükörképe a $\displaystyle C$ csúcs fölött helyezkedik el, koordinátái tehát $\displaystyle (1;1;c)$ ahol a $\displaystyle c$ pozitív számot a térbeli Pithagorasz-tétel alapján könnyen meghatározhatjuk: $\displaystyle 1^2+1^2+c^2=AT^2=2^2$, vagyis $\displaystyle c=\sqrt{2}$. Jelölje $\displaystyle X(x;x;\sqrt{2}x)$ és $\displaystyle Y(1;y;0)$ az $\displaystyle AT$, illetve $\displaystyle BC$ egyenesek egy-egy tetszőleges pontját. Az $\displaystyle AE$ és $\displaystyle BC$ kitérő élegyenesek távolsága a $\displaystyle d=XY$ távolság legkisebb lehetséges értéke. Mármost

$\displaystyle d^2=(x-1)^2+(x-y)^2+(\sqrt{2}x)^2= (x-y)^2+3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3},$

ahol egyenlőség pontosan az $\displaystyle x=y=1/3$ esetben áll fenn. Ezek szerint a két kitérő él távolsága $\displaystyle \sqrt{2/3}$, a normáltranszverzálist pedig az $\displaystyle A$-hoz, illetve $\displaystyle B$-hez közelebbi harmadolópontjuk határozza meg.

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai