A B. 4230. feladat (2009. december)

B. 4230. Egy szabályos négyoldalú gúla minden éle egységnyi hosszú. Határozzuk meg két kitérő élegyenes távolságát.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Szimmetria okok miatt bármely két kitérő élegyenes távolsága ugyanannyi. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet , csúcsa pedig az \(\displaystyle E\) pont legyen, ahol az \(\displaystyle A,B,C,D\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (0;0;0)\), \(\displaystyle (1;0;0)\), \(\displaystyle (1;1;0)\) és \(\displaystyle (0;1;0)\), az \(\displaystyle E\) csúcs pedig a pozitív térnyolcadba esik. Az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle E\)-re vett \(\displaystyle T\) tükörképe a \(\displaystyle C\) csúcs fölött helyezkedik el, koordinátái tehát \(\displaystyle (1;1;c)\) ahol a \(\displaystyle c\) pozitív számot a térbeli Pithagorasz-tétel alapján könnyen meghatározhatjuk: \(\displaystyle 1^2+1^2+c^2=AT^2=2^2\), vagyis \(\displaystyle c=\sqrt{2}\). Jelölje \(\displaystyle X(x;x;\sqrt{2}x)\) és \(\displaystyle Y(1;y;0)\) az \(\displaystyle AT\), illetve \(\displaystyle BC\) egyenesek egy-egy tetszőleges pontját. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle BC\) kitérő élegyenesek távolsága a \(\displaystyle d=XY\) távolság legkisebb lehetséges értéke. Mármost

\(\displaystyle d^2=(x-1)^2+(x-y)^2+(\sqrt{2}x)^2= (x-y)^2+3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3},\)

ahol egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x=y=1/3\) esetben áll fenn. Ezek szerint a két kitérő él távolsága \(\displaystyle \sqrt{2/3}\), a normáltranszverzálist pedig az \(\displaystyle A\)-hoz, illetve \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontjuk határozza meg.

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai