A B. 4253. feladat (2010. március)

B. 4253. Kék és piros színű építőkockákból egy 6×6×6-os kockát építettünk úgy, hogy minden egyes 2×2×2-es rész pontosan 3 piros és 5 kék kockából áll. Igazoljuk, hogy a nagy kocka csúcsai közül is pontosan 3 piros és 5 kék.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Állítsuk a kockát az egyik lapjára, és tekintsünk ebben egy 24 kis kockából álló \(\displaystyle 2\times 2\)-es alapú hasábot. Ez egyrészt felbomlik 3 darab \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es részre, tehát pontosan 9 piros és 15 kék kockából áll, másrészt pontosan 5 darab \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es rész található benne. Vegyük ki most a kocka alsó lapjára illeszkedő \(\displaystyle 6\times 6\) kis kockát, és helyezzük a kocka tetejére, ugyanolyan elrendezésben. Tekintsük ugyanazt a \(\displaystyle 2\times 2\)-es alapú hasábot, ezzel annyi történt, hogy az alsó 4 kis kockát felülre helyeztük át. Ebben tehát továbbra is 9 piros és 15 kék kocka található. A benne foglalt 5 darab \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es részből 4 darab már az eredeti kockában is benne volt, a legfelső ötödiket pedig ezek közül kettővel kiegészíthetjük a szóban forgó \(\displaystyle 2\times 2\)-es alapú hasábbá. Ezért ebben az ötödik \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es részben is pontosan 3 piros és 5 kék kis kocka található. Mivel a nagy kocka minden egyes \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es része belefoglalható egy ilyen hasábba, beláttuk, hogy az alsó lap felülre helyezésével nyert \(\displaystyle 6\times 6\times 6\) méretű kockára is igaz az, hogy benne minden egyes \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es rész pontosan 3 piros és 5 kék kockából áll.

[] Ez a tulajdonság nyilván megmarad akkor is, ha az újonnan kapott nagy kocka elülső lapját hátulra helyezzük, majd az így létrejött kocka bal oldali lapját áttesszük a jobb oldalra. Mivel az így három lépésben létrehozott nagy kocka jobb oldali hátsó fölső \(\displaystyle 2\times 2\times 2\)-es része éppen az eredeti kocka 8 csúcsánál elhelyezkedő kis kockából tevődik össze, a feladat állítását ezzel be is láttuk.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Péter, Beke Lilla, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy Róbert, Németh Bence, Perjési Gábor, Sieben Bertilla, Solti Bálint, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Varga Vajk, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zsakó András.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai