A B. 4254. feladat (2010. március)

B. 4254. Létezik-e olyan nem azonosan nulla függvény a síkon, amelynek bármely szabályos ötszög csúcsain fölvett értékeit összeadva mindig nullát kapunk?

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen $\displaystyle f$ egy olyan függvény a síkon, amelyre bármely szabályos ötszög csúcsain a fölvett értékek összege nulla. Legyen $\displaystyle P$ a sík egy tetszőleges pontja. Tekintsünk egy $\displaystyle PA_0B_0C_0D_0$ szabályos ötszöget, és ezt forgassuk el a $\displaystyle P$ pont körül rendre 72, 144, 216 és 288 fokos szöggel ugyanabba az irányba. Az $\displaystyle i\cdot72$ fokos szöggel való elforgatottat jelölje $\displaystyle PA_iB_iC_iD_i$. Ekkor a feltétel szerint minden $\displaystyle 0\le i\le 4$ esetén

$\displaystyle f(P)+f(A_i)+f(B_i)+f(C_i)+f(D_i)=0.$

Továbbá minden $\displaystyle X\in \{ A,B,C,D\}$ esetén az $\displaystyle X_0X_1X_2X_3X_4$ ötszög szabályos, vagyis

$\displaystyle f(X_0)+f(X_1)+f(X_2)+f(X_3)+f(X_4)=0.$

Az első öt egyenlet összegéből a másik négy egyenletet kivonva $\displaystyle 5f(P)=0$, vagyis $\displaystyle f(P)=0$ adódik. A feltételnek tehát csak az azonosan nulla függvény tesz eleget.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Csizmadia Luca, Éles András, Janzer Olivér, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Vuchetich Bálint.
3 pontot kapott:	Dudás 002 Zsolt, Mészáros András, Nagy Róbert.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai