A B. 4254. feladat (2010. március)

B. 4254. Létezik-e olyan nem azonosan nulla függvény a síkon, amelynek bármely szabályos ötszög csúcsain fölvett értékeit összeadva mindig nullát kapunk?

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f\) egy olyan függvény a síkon, amelyre bármely szabályos ötszög csúcsain a fölvett értékek összege nulla. Legyen \(\displaystyle P\) a sík egy tetszőleges pontja. Tekintsünk egy \(\displaystyle PA_0B_0C_0D_0\) szabályos ötszöget, és ezt forgassuk el a \(\displaystyle P\) pont körül rendre 72, 144, 216 és 288 fokos szöggel ugyanabba az irányba. Az \(\displaystyle i\cdot72\) fokos szöggel való elforgatottat jelölje \(\displaystyle PA_iB_iC_iD_i\). Ekkor a feltétel szerint minden \(\displaystyle 0\le i\le 4\) esetén

\(\displaystyle f(P)+f(A_i)+f(B_i)+f(C_i)+f(D_i)=0.\)

Továbbá minden \(\displaystyle X\in \{ A,B,C,D\}\) esetén az \(\displaystyle X_0X_1X_2X_3X_4\) ötszög szabályos, vagyis

\(\displaystyle f(X_0)+f(X_1)+f(X_2)+f(X_3)+f(X_4)=0.\)

Az első öt egyenlet összegéből a másik négy egyenletet kivonva \(\displaystyle 5f(P)=0\), vagyis \(\displaystyle f(P)=0\) adódik. A feltételnek tehát csak az azonosan nulla függvény tesz eleget.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Csizmadia Luca, Éles András, Janzer Olivér, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Vuchetich Bálint.
3 pontot kapott:	Dudás 002 Zsolt, Mészáros András, Nagy Róbert.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai