A B. 4255. feladat (2010. március)

B. 4255. Mutassuk meg, hogy ha az n pozitív egészre 2n+1 és 3n+1 négyzetszámok, akkor 5n+3 nem lehet prímszám.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle a<b$ pozitív egész számokkal $\displaystyle 2n+1=a^2$ és $\displaystyle 3n+1=b^2$. Ekkor $\displaystyle n=b^2-a^2$ és $\displaystyle 5n+2=a^2+b^2$. Ezek szerint $\displaystyle a^2+b^2=5(b^2-a^2)+2$, vagyis $\displaystyle 3a^2=2b^2+1$. Ennek megfelelően

$\displaystyle 5n+3=a^2+b^2+1=4a^2-b^2=(2a+b)(2a-b).$

Ha ez prímszám lenne, akkor $\displaystyle 2a-b=1$, vagyis $\displaystyle 3a^2=2b^2+1=2(2a-1)^2+1$ teljesülne, ahonnan $\displaystyle 5a^2-8a+3=0$, vagyis $\displaystyle a=1$ következne, hiszen a másodfokú egyenlet másik gyöke nem egész szám. Ekkor azonban $\displaystyle n=0$ lenne, vagyis az adott feltételek mellett $\displaystyle 5n+3$ valóban nem lehet prímszám.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	53 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai