A B. 4259. feladat (2010. március)

B. 4259. Egy, az ABC háromszög B és C csúcsain átmenő kör az AB oldalt D-ben, az AC-t E-ben metszi. A háromszög AF súlyvonala DE-t G-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a \(\displaystyle BCED\) négyszög húrnégyszög, a szokásos jelölésekkel

\(\displaystyle AED\sphericalangle=180^\circ-CED\sphericalangle=CBD\sphericalangle=\beta,\)

és hasonlóképpen \(\displaystyle ADE\sphericalangle=\gamma\), vagyis az \(\displaystyle AED\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Húzzunk az \(\displaystyle F\) ponton át párhuzamost a \(\displaystyle DE\) egyenessel, ennek az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) félegyenessel való metszéspontját jelölje \(\displaystyle D'\) és \(\displaystyle E'\). Ekkor az \(\displaystyle AE'D'\) háromszög hasonló az \(\displaystyle AED\) háromszöghöz, és \(\displaystyle GD:GE=FD':FE'\).

Ha az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalak felezőpontját \(\displaystyle D^*\), illetve \(\displaystyle E^*\) jelöli, akkor \(\displaystyle FD^*=AC/2\), \(\displaystyle FE^*=AB/2\), vagyis az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle AED\), \(\displaystyle AE'D'\), \(\displaystyle E^*E'F\) és \(\displaystyle D^*FD'\) háromszögek hasonlósága alapján

\(\displaystyle \frac{GD}{GE}=\frac{FD'}{FE'}=\frac{FD'}{FD^*}\cdot\frac{FD^*}{FE^*}\cdot \frac{FE^*}{FE'}=\frac{BC}{AB}\cdot\frac{AC}{AB}\cdot\frac{CA}{CB}= \frac{AC^2}{AB^2}.\)

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	53 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai