A B. 4261. feladat (2010. március)

B. 4261. Kocka alakú házunkra olyan, két egyenlőszárú háromszögből és két szimmetrikus trapézból álló háztetőt készítünk, melynek élei egyenlőek, és bármely két szomszédos lapja ugyanakkora szöget zár be egymással. Hányszorosa a háztető éle a kocka élének?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Ilyen háztetőt kapunk akkor, ha egy szabályos dodekaédernek egy élét kiválasztva, az él csúcsaival szomszédos további négy csúcs által meghatározott négyzet síkjával elmetsszük a dodekaédert. Megmutatjuk, hogy (az érdektelen lapostetőtől eltekintve) más lehetőség nincs is.

A háztető gerincét alkossa az \(\displaystyle AB\) szakasz, az \(\displaystyle A\) csúcsból induló másik két él végpontja legyen \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\). Ekkor a feltételek miatt a \(\displaystyle BCD\) háromszög szabályos. Nézzük a háztetőt alkotó két szimmetrikus trapéz egyikét, legyenek ennek csúcsai \(\displaystyle A,B,C\) és \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle ABEC\) trapézban tehát \(\displaystyle AB=BE=CA=x\) éppen a háztető éle, \(\displaystyle AE=EC=CB=e\) pedig megegyezik a kocka élével. A trapéz átlóinak behúzásával keletkező egyenlőszárú háromszögek alapján az ábrán jelölt szögek mind ugyanakkorák, továbbá \(\displaystyle EAC\sphericalangle=ACE\sphericalangle=2\alpha\). Ezért az \(\displaystyle ACM\) és \(\displaystyle CEA\) háromszögek hasonlók és \(\displaystyle EM=CM=CA=x\). Ennek alapján

\(\displaystyle x:e=AC:CE=MA:AC=(AE-ME):AC=(e-x):x,\)

vagyis

\(\displaystyle x^2=e(e-x),\quad x^2+ex-e^2=0,\quad x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot e.\)

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Beke Lilla, Damásdi Gábor, Éles András, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Róbert, Németh Bence, Perjési Gábor, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Uray Marcell János, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:	Kiss 902 Melinda Flóra, Somogyi Ákos.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai