 |
A B. 4262. feladat (2010. április) |
B. 4262. Adottak a P és Q pontok. Határozzuk meg a P-n átmenő összes e egyenes és a Q-ra illeszkedő, e-re merőleges Se sík metszéspontjának mértani helyét.
(3 pont)
A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Könnyű látni, hogy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok a mértani helyhez tartoznak. Ha az \(\displaystyle e\) egyenes és az \(\displaystyle S_e\) sík \(\displaystyle M\) metszéspontja ezektől különbözik, akkor mivel a \(\displaystyle PMQ\) szög derékszög, a \(\displaystyle PQM\) derékszögű háromszög síkjában az \(\displaystyle M\) pont illeszkedik a \(\displaystyle PQ\) szakasz fölé emelt Thalesz-körre. A metszéspont tehát mindenképpen a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelületen helyezkedik el. Megfordítva, ha \(\displaystyle M\) ennek a gömbfelületnek \(\displaystyle P\)-től és \(\displaystyle Q\)-tól is különböző pontja, akkor az \(\displaystyle e=PM\) egyenesre az \(\displaystyle M\) pontban merőlegesen állított sík tartalmazza az \(\displaystyle MQ\) egyenest, vagyis áthalad a \(\displaystyle Q\) ponton, tehát megegyezik \(\displaystyle S_e\)-vel. Ezek szerint a keresett mértani hely a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelülettel egyezik meg. Megjegyezzük, hogy a bizonyítás a \(\displaystyle P=Q\) esetben is érvényes, ekkor a gömbfelület egy pontra húzódik össze.
Statisztika:
70 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 64 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai