A B. 4262. feladat (2010. április)

B. 4262. Adottak a P és Q pontok. Határozzuk meg a P-n átmenő összes e egyenes és a Q-ra illeszkedő, e-re merőleges S_e sík metszéspontjának mértani helyét.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Könnyű látni, hogy a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontok a mértani helyhez tartoznak. Ha az $\displaystyle e$ egyenes és az $\displaystyle S_e$ sík $\displaystyle M$ metszéspontja ezektől különbözik, akkor mivel a $\displaystyle PMQ$ szög derékszög, a $\displaystyle PQM$ derékszögű háromszög síkjában az $\displaystyle M$ pont illeszkedik a $\displaystyle PQ$ szakasz fölé emelt Thalesz-körre. A metszéspont tehát mindenképpen a $\displaystyle PQ$ átmérőjű gömbfelületen helyezkedik el. Megfordítva, ha $\displaystyle M$ ennek a gömbfelületnek $\displaystyle P$-től és $\displaystyle Q$-tól is különböző pontja, akkor az $\displaystyle e=PM$ egyenesre az $\displaystyle M$ pontban merőlegesen állított sík tartalmazza az $\displaystyle MQ$ egyenest, vagyis áthalad a $\displaystyle Q$ ponton, tehát megegyezik $\displaystyle S_e$-vel. Ezek szerint a keresett mértani hely a $\displaystyle PQ$ átmérőjű gömbfelülettel egyezik meg. Megjegyezzük, hogy a bizonyítás a $\displaystyle P=Q$ esetben is érvényes, ekkor a gömbfelület egy pontra húzódik össze.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	64 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai