A B. 4264. feladat (2010. április)

B. 4264. Az ABC háromszög C csúcsánál lévő szöge 120^o. A háromszög magasságpontja M, a körülírt körének középpontja O, a kör ACB ívének felezőpontja pedig F. Bizonyítsuk be, hogy MF=FO.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kerületi és középponti szögek tétele szerint az \(\displaystyle AOB\) szög nagysága is \(\displaystyle 120^{\circ}\), az \(\displaystyle AOBF\) deltoid tehát egy olyan rombusz, amelyben \(\displaystyle FA=FB=FO\). Ha az \(\displaystyle A\)-ból, illetve \(\displaystyle B\)-ből induló magasságvonalak talppontját \(\displaystyle M_a\) és \(\displaystyle M_b\) jelöli, akkor az \(\displaystyle MM_aCM_b\) négyszög húrnégyszög, vagyis

\(\displaystyle AMB\sphericalangle=M_aMM_b\sphericalangle=180^\circ-M_aCM_b\sphericalangle =180^\circ-ACB\sphericalangle=180^\circ-AOB\sphericalangle.\)

Ezért az \(\displaystyle AOBM\) négyszög is húrnégyszög, melynek körülírt körének középpontja éppen az \(\displaystyle F\) pont, így valóban \(\displaystyle MF=FO\).

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	54 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai